Modélisation mathématique

Il me parait évident (mais je peux me tromper) que si tant de banques se sont gorgées jusqu'à plus soif de CDO et autres instruments financiers du même tonneau, c'est parce que leurs gérants avaient la certitude (ou plutôt la croyance) qu'ils étaient "mathématiquement" couverts contre toute dépréciation.

C'est d'ailleurs le développement de tels modèles mathématiques qui est à la source de l'explosion récente des dérivés. Il y a une dame professeur à Dauphine et Polytechnique qui s'est spécialisée dans la production en série de ces petits pains chauds là : le banquier qui sait faire des maths. On se les arrache !

Malheureusement il y a un couac. Et ces modèles super-savants et élaborés ont aussi conduit là où on en est.

La question que je me pose, c'est où peut-il bien se trouver, ledit couac ? Où est l'erreur ? La réponse ne peut pas être principalement technique. Il y a des erreurs d'une autre nature, mais laquelle ?

J'ai perdu les références précises (cela date d'août, je crois). Mais un fond dont la probabilité de défaut était estimé à 10 puissance -30, ou quelque chose comme ça, a pourtant fait faillite. On comprend que ces messieurs ne comprennent pas.

En marge, un article du Monde sur Nassim Taleb :

www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3218,36-980414,0.html

Le couac est que l' Homme est, par nature, ce qu'il est. Les Hommes de pouvoir n'ont jamais été les gens brillants, et que n'importe quel charlot peut faire gober n'importe quoi n'importe comment. En passant par les avions renifleurs jusqu'au système qui t'explique que le taux de risque est de 10 puissance -30. 

Moi j'ai les cheveux 75% plus brillant c'est scientifiquement prouvé.

Mais ça rien ne changera pour autant, on recommencera encore et encore et encore ...

Le bon sens est mort, vive le bon sens !

Malheureusement les mathématiques financières sont tout de même un peu plus sérieuses, et beaucoup plus studieuses, que ça. Sinon l'exercice du bon sens serait plus facile.

ha mais je ne dis pas que les réflexion et l'approche de beaucoup soient studieuse, voire sérieuse. La question est de qui valide les modèles mathématiques qui sont retenus et de qui peut raisonnablement penser qu'un système a réellement la possibilité de n'avoir qu'une chance sur 1000000000000000000000000000000 de se planter.

C'est celui qui valide celà qui est en soit le couac non ?

Le couac vient du fait que la plupart des modèles mathématiques financiers existants ont pour théorie fondatrice la notion selon laquelle les variations de cours sont distribués selon une sacro-sainte courbe en cloche. Ce qui fut d'ailleurs déjà la cause de la faillite du fond LCTM créé par des génies nobélisés de la finance. Or, cette distribution statistique simplifiée ne peut s'observer que lorsque deux critères essentiels sont réunis:

1. Une distribution suffisamment large de l'échantillon
2. Une non-dépendance des valeurs entre elles

C'est par exemple le cas pour des distributions naturelles telles que la taille ou l'intelligence des individus. Par exemple à un instant donné, dans une population suffisamment large, la taille d'un individu A est indépendante de celle d'un individu B tandis que la taille moyenne du groupe sera la conséquence du dévéloppement historique de cette même population. Les valeurs de taille des individus se distribuent de manière homogène de part et d'autre de cette taille moyenne, et plus elles s'en éloignent, moins il y a de valeurs. De plus cette courbe est bornée, il n'existe par exemple pas de nains de 3mm ou de géants de 153 mètres.  

A partir du moment ou la nature humaine est impliquée dans des phénomènes statistiques, le deuxième critère ci-dessus n'est plus valide, car les décisions individuelles sont rattachées au comportement du groupe. La socio-psychlogie (ou psychologie des foules) crée les phénomènes de mouvements collectifs avec les excès qui en découlent. Les phénomènes financiers et boursiers sont donc dépendants, car le comportement des acteurs des marchés est influencé par l'état du marché dont ils sont eux-mêmes la composante, ce qui amène des phénomènes de renforcement de tendance, des marées montantes ou descendantes qui entrainent les cours très loins de leur valeur moyenne. 

Les variations de cours en bourse ne répondent donc en rien à cette distribution gaussienne, bornée, mais suivent une loi de puissance, en raison du rôle joué par la psychologie, et de la non-dépendance des valeurs entre elles. Les cours se répartissent selon une courbe de Cauchy. En clair, de manière exceptionnelle, quelques valeurs peuvent s'écarter très fortement de la moyenne arithmétique, les cours pouvant décaler dans des proportions énormes. Cela correspond à ce que l'on pourra qualifier sur les marchés de variations accidentellement élevées, soit l'existence accidentelle d'un géant de 153 mètres, ou d'une personne dont le QI serait de 3540, tout comme un nain financier de 3mm ou une personne à l'intelligence virtuellement nulle (et donc non viable) sont des phénomènes bien réels sur les marchés financiers.

La différence est infime dans le concept, mais ses implications statistiques sont gigantesques. Les marchés n'obéissent pas à des lois mathématiques simplificatrice qui négligent le facteur humain et ses faiblesses psychologiques, déterminatrices des phénomènes de marché. Cela fait maintenant bientôt deux siècles que tous les génies financiers de la planète développent des modèles de plus en plus complexes... sur des bases erronées.

Ma fille prépare actuellement un baccalauréat de sciences économisques et sociales, et pour échapper au dictat des maths financières, elle a choisi de ne pas s'orienter vers une filière purement économique, car l'économie telle qu'on l'ancienne aujourd'hui dans les universités fait la part belle à ces fameuses mathématiques financières bâties sur un axiome erroné.

Comme il est dit déjà plus haut, la finance, et l'économie, c'est du bon sens. Rien ne peut lutter contre les lois humaines, et surtout pas des règles présomptueusement édictées par l'homme lui-même convaincu de sa supériorité et de sa capacité à modeler des phénomènes comportementaux afin de les forcer à adopter une forme de courbe en cloche. Il ne peut exister de modèle de marché qui n'intègre pas la psychologie humaine, et à ma connaissance, je ne crois pas que l'on ai réussi à ce jour à modéliser mathématiquement les phénomènes socio-psychologiques.

Merci pour cette magistrale intervention, Philippus

Pour info, comparation courbe de gauss et de cauchy

http://www.cndp.fr/themadoc/mouvbrown/Images/image141.jpg

D'abord j'ai retrouvé la citation concernant ce risque de défaut d'un fonds en faillite. Celui-ci était géré par Goldman Sachs, et (c'est encore mieux !) sa probabilité de défaut avait été estimée à 10 puissance moins 138 ! A se rouler par terre.

Maintenant, plus sérieux, je suis preneur pour quelques références historiques :

- Je comprends qu'à travers la courbe de Gauss, Nicolas vise une simulation du marché par le mouvement brownien. J'aimerais savoir s'il y a des sources précises disponibles démontrant que la faillite de LTCM est la conséquence de ce type d'hypothèse (comme Nicolas l'indique).

- J'aimerais bien aussi savoir pourquoi on associe le grand Cauchy à la courbe du même nom. Je doute qu'il se soit jamais intéressé à ces problèmes. C'est marrant, une recherche de la séquence "courbe de Cauchy" dans Google ne mène à aucune page ! Ouais !

- Enfin, voilà une petite fiche "niveau lycée" (sic) :

www.cndp.fr/Themadoc/mouvbrown/mathfinelev.htm

Dans ce cadre, l'exercice du bon sens ne me parait pas si facile. J'observe :

"Le théorème de la limite centrale prévoit la même densité de probabilité, gaussienne, quelle que soit la loi de probabilité dont on fait la somme. C’est un résultat très surprenant. Il explique pourquoi beaucoup de distributions expérimentales sont gaussiennes."

Bonjour,

Ce que NNT essaie de montrer, ce sont les comportements particuliers de séries à queue épaisse (je ne parle pas de Rocco Sifredi ! ) Comme le dit philippulus, c’est cette obsession pour la loi normale qui fait oublier à beaucoup que tout ne se passe pas forcément « normalement ». NNT a écrit un fort bel ouvrage, sur les événements improbables à fort impact (« The Black Swan »). Malheureusement, le journal « Le Monde » n’y fait pas allusion... (« Fooled by randomness » est également excellent. il faut le dire.)  Improbable ne veut pas dire impossible. . . Là est le couac.

chrstian_

Chrstian,

Cela se dit comment en anglais "série à queue épaisse" ?

Parce que dans Google, cette chaine est (de nouveau) inconnue ...

Les séries, je connais (ouf). Mais j'ignorais qu'elles avaient des queues. Et mesurables, en plus.

c'est bon, on va capter une audience avec ça

Regarde la définition du Kurtosis dans Wikipedia, tu y trouveras la notion de "Fat Tails".
En fait, et pour ne pas déplaire à Joe, une traduction litérale serait non pas queue épaisse , mais plutôt queue grasse .

Pas sûr que ça fasse le même effet

Je comprends mieux. Il ne s'agit pas de série, mais de distribution de probabilité.

Une intéressante critique "Black Swans and Fat tails" ici :

agonist.org/john_carter/20070903/black_swans_and_fat_tails_a_book_for_agonistas

Et une interview de 97 qui n'a rien perdu de sa pertinence :

www.derivativesstrategy.com/magazine/archive/1997/1296qa.asp

Merci à Nicolas et Chrstian.